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Estatísticas bayesianas para dummies Bayesian estatísticas é um grande negócio no momento. Foi apresentado como uma solução para uma série de problemas importantes, entre outras disciplinas, direito e medicina. Estes problemas dizem respeito a questões como a determinação da probabilidade de um suspeito em particular ter cometido um assassinato se as suas impressões digitais forem encontradas na arma ou a probabilidade de uma pessoa seropositiva ter realmente uma infecção pelo HIV. Estas são, claramente, questões importantes. No entanto, a maioria das pessoas não pode ver que existem quaisquer dificuldades aqui em tudo. Se a probabilidade de duas pessoas terem as mesmas impressões digitais é, digamos, uma em cada 500.000, e as impressões digitais correspondentes à pessoa X forem encontradas na arma do crime, então certamente é uma quase certeza que X é o assassino E se eu disser que 99.5 Das pessoas com um teste confirmado de infecção pelo HIV positivo para o HIV, então certamente uma pessoa que testes positivos é 99,5 provavelmente ter o vírus De fato, ambas as conclusões de errado. Dead wrong, se você perdoar a expressão. A importância do teorema de Bayes é que ele irá dizer-lhe a verdadeira probabilidade de uma pessoa ter uma infecção pelo HIV se ele testes positivos, ea verdadeira probabilidade de X pessoa ser o assassino se suas impressões digitais virar-se sobre a arma. Ou, pelo menos, fará assim se você puder alimentar nos dados direitos, que isnt sempre fácil. Lord Bingham, um dos juízes mais importantes do Reino Unido, recusou-se a permitir que a defesa apresentasse um argumento ao júri baseado no teorema de Bayes (R v Adams 1998 1 Cr App R 377, para os advogados interessados) . Ele admitiu que era uma abordagem metodologicamente sólida, mas que confundia o júri. De fato, o teorema de Bayes é extremamente direto, e não precisa confundir qualquer um que possa acrescentar, multiplicar e dividir. O resultado desta decisão dos juízes poderia muito bem ter sido que uma pessoa inocente foi condenada, porque uma probabilidade baseada em um cálculo Bayesiano não é meramente melhor do que o resultado intuitivo, é a única resposta certa. Qualquer resposta diferente é simplesmente errado. Não é errado no sentido de roubar é errado, mas errado no sentido de que 225 está errado. Neste artigo vou explicar como funciona o teorema de Bayes, a partir dos primeiros princípios. Eu assumo do leitor nenhum conhecimento de matemática além arithemetic elementar. No final do artigo, tentarei mostrar como o teorema de Bayes pode ser derivado do exemplo de bom senso que apresento, e para isso é necessário um conhecimento de álgebra básica. Mas você não precisa ser capaz de seguir a derivação para apreciar como funciona o método Bayes. Começarei por considerar, como o próprio Reverendo Bayes, a melhor maneira de apostar numa corrida de cavalos. Como apostar no gee-gees Vamos supor que há uma corrida entre dois cavalos: Fleetfoot e Dogmeat, e eu quero determinar qual cavalo a apostar minha camisa. Acontece que Fleetfoot e Dogmeat correram uns contra os outros em doze ocasiões anteriores, todas as corridas de dois cavalos. Destas últimas doze corridas, Dogmeat ganhou cinco e Fleetfoot ganhou as outras sete. Portanto, todas as outras coisas sendo iguais (que não são mdash ver abaixo), a probabilidade de Dogmeat vencer a próxima corrida pode ser estimado a partir de suas vitórias anteriores: 5/12, ou 0,417, ou 41,7, no entanto você prefere expressá-lo. Fleetfoot, por outro lado, parece ser uma aposta melhor em 58,3. Assim, dado apenas as informações que temos, e tudo o resto sendo igual (incluindo as probabilidades oferecidas pelas casas de apostas nestes dois cavalos) você vai querer voltar Fleetfoot. Uma probabilidade 58.3 de ganhar é mais favorável do que uma probabilidade 41.7. Agora vamos adicionar um novo fator no cálculo. Acontece que em três de Dogmeats anteriores cinco vitórias, tinha chovido muito antes da corrida. No entanto, tinha chovido apenas uma vez em qualquer dos dias que ele perdeu. Parece, portanto, que Dogmeat é um cavalo que gosta de soft going, como dizem os bookies. No dia da corrida em questão, está chovendo. Agora, como é que esta informação extra afeta onde você deve colocar seu dinheiro Se você ignorar as informações sobre o tempo e usar apenas as contagens de vitórias e perdas anteriores, você deve, naturalmente, de volta Fleetfoot como determinamos anteriormente. Por outro lado, se você usar apenas as novas informações sobre o tempo, e negligenciar as contagens anteriores de vitórias e perdas, talvez você voltar Dogmeat. Isto é porque três de seus últimos cinco vitórias foram em dias chuvosos. Você pode estimar sua probabilidade de ganhar como 3/5, ou 60, nesta base. No entanto, para fazer isso seria ignorar um pedaço crucial de informação mdash que Dogmeat geral ganhou menos corridas do que Fleetfoot. O que precisamos fazer é combinar as duas peças de informação para obter algum tipo de probabilidade geral de Dogmeat vencer a corrida. Para fazer isso, precisamos examinar quatro situações possíveis: Dogmeat ganha quando chove Dogmeat ganha quando não chove Dogmeat perde quando chove Dogmeat perde quando não chove. Sabemos que Dogmeat conseguiu três de suas cinco vitórias em dias chuvosos, e só choveu uma vez quando perdeu. Isso significa que ele deve ter ganho duas vezes em um dia ensolarado. Uma vez que havia doze raças, o número de vezes que ele perdeu em um dia ensolarado deve ser 12 - (3 1 2), que é 6. Podemos tabular esses resultados como este: O que precisamos saber é a probabilidade de Dogmeat ganhar, Dado que está chovendo (porque está chovendo agora). Naturalmente, poderíamos calcular a probabilidade de o Fleetfoot ganhar, mas como (suponhamos) um cavalo deve ganhar, podemos sempre calcular uma probabilidade de cavalos, subtraindo os outros de 1.0. Note-se que a probabilidade de ganhar Dogmeat dado que está chovendo não é de todo o mesmo que a probabilidade de estar chovendo quando Dogmeat ganha. Já calculamos essa probabilidade como 60 (três dias chuvosos em cinco vitórias). Então, qual é a probabilidade de ganhar Dogmeat, uma vez que está chovendo Como qualquer outra probabilidade, calculamos dividindo o número de vezes que algo aconteceu, pelo número de vezes se poderia ter acontecido. Sabemos que Dogmeat ganhou em três ocasiões em que choveu, e houve quatro dias chuvosos no total. Assim, a probabilidade de ganhar Dogmeats, dado que agora está chovendo, é 3/4, ou 0,75, ou 75, no entanto você gosta de escrevê-lo. Observe que o mdash de informações adicionais que Dogmeat ganhou três vezes fora de quatro em um mdash chovendo de dia muda sua probabilidade de ganhar esta corrida atual de 41.7, para 75. Mais importante, significa que agora Dogmeat é mais provável ganhar do que Fleetfoot, mesmo Embora Fleetfoot tenha ganho mais corridas em geral. Esta é informação importante se você planeia apostar seu mdash da camisa se está chovendo você deve para trás Dogmeat se não for, você deve para trás Fleetfoot. Teorema de Bayes O teorema de Bayes não é nada mais do que uma generalização em álgebra do procedimento que descrevi acima, mas é uma maneira de descobrir a probabilidade de algo em face de uma determinada peça ou peças de evidência. O teorema é geralmente escrito da seguinte forma: p (AB) p (BA) p (A) / p (B) p (AB) (geralmente a probabilidade de A dado B) é a probabilidade de encontrar a observação A, Da evidência B está presente. No exemplo acima, A foi o resultado em que Dogmeat ganha, e B é a prova de que está chovendo. P (AB) é o que queremos descobrir. P (BA) é a probabilidade da evidência virar para cima, dado que o resultado obtém. Em outras palavras, esta é a probabilidade de que está chovendo, dado que Dogmeat ganha. Uma vez que estava chovendo três das cinco vezes que Dogmeat ganhou, p (BA) é 3/5, ou 0,6. P (A) é a probabilidade de o resultado ocorrer, sem conhecimento das novas evidências. No nosso exemplo, p (A) é 5/12, ou 0,417, porque Dogmeat ganhou em cinco de doze ocasiões. Finalmente, p (B) é a probabilidade da evidência surgir, sem considerar o resultado. No nosso exemplo, é a probabilidade de chuva, sem consideração para qual cavalo ganhou a corrida. Desde que sabemos que choveu em quatro dias, este valor é 4/12, ou 0,333. Assim, o valor de p (AB) mdash a probabilidade de Dogmeat vencer, dado que está chovendo mdash é Youll ver que esta é exatamente a mesma resposta que chegamos a tabulando as contagens de vitórias e perdas em chovendo e multa dias antes. Em suma, o teorema de Bayes é uma maneira de realizar o mesmo cálculo, mas começando com probabilidades, e não conta. Isso pode ser importante porque muitas vezes não sabemos exatamente as contagens envolvidas, apenas as probabilidades. Mas o método de Bayes não nos diz nada que não podemos resolver simplesmente contando e dividindo. Outro exemplo Aqui está outro exemplo do teorema de Bayes no trabalho. Considere um sistema que testa se os componentes do computador estão funcionando ou estão com defeito, com base na temperatura em que eles funcionam quando estão funcionando. Suponha, por exemplo, que 99,5 dos componentes que estão com defeito funcionam em mais de 50 graus. Agora, se tomarmos um componente específico e testá-lo, ea temperatura é de 53 graus, como é provável que seja um componente defeituoso Se você pode responder a essa pergunta com um número mdash particularmente se esse número é 99,5 mdash você precisa ler o Primeira parte deste artigo novamente, porque sua resposta será errada. A resposta correta é que eu não sei. Eu simplesmente não tenho dado todas as informações que você precisa para responder à pergunta. O que você precisa saber é a probabilidade de os componentes estarem com defeito, dado que corre muito quente. Podemos escrever isso como p (faultyhot). Mas o que Ive disse-lhe é a probabilidade de um componente defeituoso executando mdash quente p (hotfaulty). Essas duas figuras estão relacionadas pelo teorema de Bayes: p (defeituoso) é a probabilidade geral de que um componente se torne defeituoso, quer esteja ou não muito quente. Suponha, por exemplo, que 1 em cada 100 componentes esteja defeituoso em geral. Então p (defeituoso) é 0,01. P (quente) é a probabilidade de um componente ficar quente, quer este esteja ou não defeituoso. Suponha, por exemplo, que 1 em cada 20 componentes fique muito quente, quer esteja ou não defeituoso. Então p (quente) é 0,05. Isso nos dá: Então, de fato, nestas circunstâncias, se um componente testa como defeituoso com base na sua temperatura, a probabilidade de que ele é realmente defeituoso é apenas 20, não 99,5 em tudo. Isso poderia ter consequências profundas se você estiver usando este teste para determinar quais componentes para vender e que colocar para fora com o lixo. Derivando o teorema de Bayes Nesta seção, mostrarei como o teorema de Bayes, na forma expressa acima, pode ser derivado de nosso procedimento de tabulação e contagem. Lembre-se que a quanitity que queremos calcular é a probabilidade de Dogmeat ganhar dado que está chovendo. Vamos escrever este p (wr) (probabilidade de ganhar chuva dada). O que sabemos no início é a probabilidade de chover em ocasiões que Dogmeat ganha. Vamos escrever este p (rw). Agora p (rw) é apenas uma probabilidade, e pode ser determinada pela divisão do número de vezes que Dogmeat ganhou em um dia chuvoso, pelo número de vezes que ele ganhou no total. Em símbolos, expressamos isso: n (r e w) é o número de vezes que Dogmeat ganhou em um dia chuvoso, e n (w) é o número de vezes que ele ganhou no total. Dividindo parte superior e inferior do lado direito por N, o número de raças, temos: Mas o número de somethings real dividido pelo número de somethings possível é apenas a probabilidade de algo. Isso é o que a probabilidade significa. Assim, podemos escrever: ou seja, a probabilidade de chuva, dado que Dogmeat ganha, é a probabilidade de Dogmeat vencer e chovendo, divded pela probaility de sua vitória. E, se apenas trocarmos os símbolos ao redor, também podemos escrever: Nós não provamos nada aqui mdash weve apenas swapped símbolos r para w. Mas se escrevemos a equação anterior como esta: então podemos substituir p (r e w) na versão anterior (antes de trocar r e w), e isso nos dá: ou, com um pouco de malabarismo de símbolos: E isso É o clássico teorema de Bayes. Conclusão Tentei mostrar neste artigo que não há nada de místico ou profundo sobre o teorema de Bayes, embora, naturalmente, temos apenas riscado a superfície de como ela pode ser aplicada na prática. O teorema realmente não nos permite calcular nada que não possamos descobrir por outros meios, mas tem a vantagem de ser notacionalmente compacto, e trabalha diretamente com probabilidades ao invés de contagens. O método de Bayes freqüentemente produz resultados que estão em contraste com nossa compreensão intuitiva. Considere o exemplo notório da impressão digital: é intuitivo que se a probabilidade de dois povos terem as mesmas impressões digitais for um em cada 100.000, então encontrar a pessoa Xs em uma arma de assassinato significa que a pessoa X é o assassino. Ou, pelo menos, isso significa que a pessoa X tinha a mão na arma do crime em algum ponto. Mas, na verdade, não significa nada do tipo. A informação que temos é, em certo sentido, p (fingerprintperson X) o que precisamos é p (pessoa Xfingerprint). Para trabalhar isso, precisamos saber também p (pessoa X) e p (impressão digital). P (pessoa X) é a probabilidade que a pessoa X é o culpado, deixando de lado a evidência de impressão digital p (impressão digital) é a probabilidade de que a determinada impressão digital seja encontrada na arma, deixando de lado qualquer outra evidência. Agora, é altamente provável (perdão o trocadilho) que não sabemos p (pessoa X) ou p (impressão digital) com qualquer precisão. Mas o ponto importante é que se p (pessoa X) é muito menor que p (impressão digital) (talvez porque a pessoa X tem um álibi muito forte), então a probabilidade de que a pessoa X seja inocente será muito maior do que uma em 100.000 . O pressuposto incorreto que é o que é conhecido como a falácia dos promotores em ciência forense, e Bayes nos diz quão sério é um erro. Copyright cópia 1994-2015 Kevin Boone. Atualizado em 12 de maio de 2016O que é a Amostragem A amostragem é um processo usado na análise estatística em que um número predeterminado de observações são tomadas de uma população maior. A metodologia utilizada para amostrar de uma população maior depende do tipo de análise que está sendo realizada, mas pode incluir amostragem aleatória simples ou amostragem sistemática. Nos negócios, um CPA que executa uma auditoria utiliza a amostragem para determinar a exatidão dos saldos das contas nas demonstrações financeiras e os gerentes usam a amostragem para avaliar o sucesso dos esforços de marketing das empresas. Carregar o leitor. BREAKING DOWN Amostragem A amostra deve ser uma representação de toda a população. Ao tomar uma amostra de uma população maior, é importante considerar como a amostra é escolhida. Para obter uma amostra representativa. A amostra deve ser desenhada aleatoriamente e abranger toda a população. Por exemplo, um sistema de loteria poderia ser usado para determinar a idade média dos alunos em uma universidade por amostragem 10 do corpo estudantil. Factoring em Amostragem Sistemática A amostragem sistemática utiliza um ponto de partida aleatório e um intervalo periódico para seleccionar itens para uma amostra. O intervalo de amostragem é calculado como o tamanho da população dividido pelo tamanho da amostra. Suponha, por exemplo, que um CPA está auditando os controles internos relacionados à conta de caixa e quer testar a política da empresa que verifica mais de 10.000 devem ser assinados por duas pessoas, em vez de apenas uma pessoa. A população de contabilistas é cada cheque de empresa escrito é excesso de 10.000 durante o ano fiscal, que é de 300 cheques total neste exemplo. A empresa CPA usa estatísticas de probabilidade e determina que o tamanho da amostra deve ser 20 da população, ou 60 cheques. O intervalo de amostragem é de 300 verificações divididas por 60 verificações de amostra, ou cinco, de modo que o CPA seleciona cada quinto teste de teste. Suponha que, se não houver erros no trabalho de teste de amostragem, a análise estatística dá ao CPA uma taxa de confiança de 95 que o procedimento de verificação foi realizado corretamente. O CPA executa o trabalho de teste de amostra em 60 verificações e não encontra erros e o contador conclui que o controle interno sobre o caixa está funcionando corretamente. Exemplos de testes de amostra para marketing Cada negócio tenta vender um produto ou serviço para um nicho de mercado. Uma empresa de amostras de indivíduos em um determinado nicho de mercado para descobrir o que eles precisam e quais os problemas que eles querem resolver. Os resultados da amostra ajudam o negócio a atender as necessidades das pessoas no nicho de mercado. 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